مساحت متوازی‌ الاضلاع چگونه به دست می‌آید؟ (فرمول + مثال)

یکی از مفاهیم پایه در هندسه کلاس پنجم و ششم، محاسبه مساحت متوازی‌ الاضلاع است. متوازی‌ الاضلاع چهارضلعی است که ضلع‌های روبروی آن با هم موازی و مساوی هستند.در این مقاله، به زبان ساده بررسی می‌کنیم که متوازی‌ الاضلاع چیست، چه ویژگی‌هایی دارد، انواع آن کدام‌اند و مساحت متوازی‌ الاضلاع چگونه محاسبه می‌شود. 

فرمول مساحت متوازی الاضلاع چیست؟

ساده‌ترین راه برای محاسبه مساحت، استفاده از قاعده و ارتفاع است. ارتفاع، خطی است که از یک راس بر قاعده عمود می‌شود.

 

متوازی‌ الاضلاع چیست؟

متوازی‌ الاضلاع نوعی چهارضلعی است که در آن هر دو ضلع روبه‌رو با یکدیگر موازی هستند. یعنی اگر شکل را با رأس‌های AAA، BBB، CCC و DDD نام‌گذاری کنیم، ضلع‌های مقابل آن با هم موازی‌اند:

AB∥CD 

AD∥BC

به زبان ساده‌تر، در متوازی‌ الاضلاع دو جفت ضلع وجود دارد که اگر آن‌ها را ادامه دهیم، هرگز به هم نمی‌رسند.

ویژگی‌های متوازی‌ الاضلاع

متوازی‌الاضلاع چند ویژگی مهم دارد که شناخت آن‌ها برای حل تمرین‌های ریاضی بسیار کمک‌کننده است.

1. ضلع‌های روبه‌رو با هم موازی‌اند

در هر متوازی‌ الاضلاع، دو ضلع روبه‌رو با یکدیگر موازی هستند. این ویژگی اصلی‌ترین نشانه متوازی‌ الاضلاع است.

AB∥CD 

AD∥BC

2. ضلع‌های روبه‌رو با هم برابرند

در متوازی‌ الاضلاع، طول ضلع‌های روبه‌رو با هم برابر است. یعنی اگر یک ضلع بالا با ضلع پایین مقایسه شود، طول آن‌ها یکسان است. همچنین ضلع سمت راست و چپ نیز با هم برابرند.

AB=CD 

AD=BC 

این ویژگی در محاسبه محیط متوازی‌الاضلاع نیز بسیار کاربرد دارد.

3. زاویه‌های مقابل با هم برابرند

در متوازی‌ الاضلاع، زاویه‌هایی که روبه‌روی هم قرار دارند، اندازه یکسانی دارند.

∠A=∠C 

∠B=∠D

پس اگر اندازه یکی از زاویه‌ها را بدانیم، می‌توانیم زاویه مقابل آن را نیز به‌راحتی پیدا کنیم.

4. مجموع زاویه‌های داخلی 360 درجه است

متوازی‌ الاضلاع نوعی چهارضلعی است؛ بنابراین مثل همه چهارضلعی‌ها، مجموع زاویه‌های داخلی آن برابر با 360 درجه است.

∠A+∠B+∠C+∠D=360∘ 

این قانون برای همه چهارضلعی‌ها برقرار است.

5. زاویه‌های مجاور مکمل هم هستند

در متوازی‌ الاضلاع، هر دو زاویه کنار هم یا مجاور، مجموعاً 180 درجه می‌شوند. یعنی:

∠A+∠B=180∘ 

∠B+∠C=180∘ 

∠C+∠D=180∘

∠D+∠A=180∘

به همین دلیل اگر یکی از زاویه‌های متوازی‌ الاضلاع را داشته باشیم، زاویه مجاور آن را می‌توانیم با کم کردن از 180 درجه به دست آوریم.

مثلاً اگر:

∠A=70∘

باشد، آنگاه:

∠B=180∘−70∘=110∘ 

6. قطرهای متوازی‌ الاضلاع یکدیگر را نصف می‌کنند

متوازی‌ الاضلاع دو قطر دارد. اگر قطرها را رسم کنیم، در نقطه‌ای یکدیگر را قطع می‌کنند. این نقطه، هر دو قطر را به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کند.

اگر نقطه برخورد قطرها را OOO بنامیم، داریم:

AO=OC 

و

BO=OD 

این ویژگی در حل مسائل هندسی و اثبات‌ها بسیار مهم است.

7. هر قطر، متوازی‌ الاضلاع را به دو مثلث هم‌ نهشت تقسیم می‌کند

اگر یکی از قطرهای متوازی‌ الاضلاع را رسم کنیم، شکل به دو مثلث تقسیم می‌شود. این دو مثلث از نظر اندازه و شکل با هم برابرند؛ یعنی هم‌ نهشت هستند.

برای مثال، قطر AC متوازی‌ الاضلاع را به دو مثلث تقسیم می‌کند که مساحت یکسانی دارند.

جدول خلاصه ویژگی‌های متوازی‌ الاضلاع

ویژگی	توضیح ساده	فرمول یا نتیجه
ضلع‌های روبه‌رو	هر دو جفت ضلع مقابل، موازی هم هستند.	AB ∥ CD و AD ∥ BC
طول ضلع‌های روبه‌رو	ضلع‌های مقابل، هم‌اندازه‌اند.	AB = CD و AD = BC
زاویه‌های مقابل	زاویه‌هایی که روبه‌روی هم هستند، برابرند.	∠A = ∠C و ∠B = ∠D
مجموع زاویه‌های داخلی	چون متوازی‌الاضلاع یک چهارضلعی است، مجموع زاویه‌های داخلی ثابت است.	∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°
زاویه‌های مجاور	هر دو زاویه کنار هم (مجاور) مکمل‌اند.	∠A+∠B=180°، ∠B+∠C=180°، ∠C+∠D=180°، ∠D+∠A=180°
قطرها	دو قطر در نقطه تقاطع، همدیگر را نصف می‌کنند.	AO = OC و BO = OD
تقسیم با قطر	هر قطر، شکل را به دو مثلث کاملاً برابر (هم‌نهشت) تقسیم می‌کند.	با رسم AC یا BD، دو مثلث هم‌نهشت تشکیل می‌شود.

انواع متوازی‌ الاضلاع

گاهی دانش‌آموزان تصور می‌کنند متوازی‌الاضلاع فقط همان شکلی است که دو ضلع آن کج دیده می‌شود؛ اما بعضی از شکل‌های آشنا مثل مستطیل، مربع و لوزی نیز نوعی متوازی‌الاضلاع هستند. دلیلش این است که در همه آن‌ها، ضلع‌های روبه‌رو با هم موازی‌اند.

1. لوزی

لوزی نوعی متوازی‌الاضلاع است که هر چهار ضلع آن با هم برابرند.

AB=BC=CD=DA 

در لوزی، علاوه بر اینکه ضلع‌های روبه‌رو موازی هستند، تمام ضلع‌ها طول یکسانی دارند. بنابراین می‌توان گفت:

هر لوزی یک متوازی‌الاضلاع است، اما هر متوازی‌الاضلاعی لوزی نیست.

2. مستطیل

مستطیل نیز یک نوع متوازی‌الاضلاع است. در مستطیل، همه زاویه‌ها قائمه هستند؛ یعنی هر زاویه 90 درجه است.

∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 

در مستطیل، ضلع‌های روبه‌رو برابر و موازی‌اند و قطرها نیز با هم برابر هستند.

3. مربع

مربع خاص‌ترین نوع متوازی‌الاضلاع است؛ چون هم ویژگی‌های مستطیل را دارد و هم ویژگی‌های لوزی را.

در مربع:

• هر چهار ضلع برابرند.
• همه زاویه‌ها 90 درجه‌اند.
• ضلع‌های روبه‌رو موازی‌اند.
• قطرها با هم برابرند.

پس مربع هم یک مستطیل است، هم یک لوزی، و هم یک متوازی‌الاضلاع.

AB=BC=CD=DA

∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 

جدول مقایسه انواع متوازی‌الاضلاع

نوع شکل	ویژگی اصلی	آیا متوازی‌الاضلاع است؟
متوازی‌الاضلاع معمولی	دو جفت ضلع روبه‌رو موازی هستند	بله
لوزی	چهار ضلع برابر دارد	بله
مستطیل	چهار زاویه قائمه دارد	بله
مربع	چهار ضلع برابر و چهار زاویه قائمه دارد	بله

مساحت متوازی‌الاضلاع چیست؟

مساحت یعنی اندازه سطح داخل یک شکل. بنابراین مساحت متوازی‌الاضلاع یعنی مقدار فضایی که داخل مرزهای آن قرار دارد.

اگر سطح داخلی یک متوازی‌الاضلاع را رنگ کنیم، مقدار همان ناحیه رنگ‌شده برابر با مساحت متوازی‌الاضلاع است.

فرمول اصلی مساحت متوازی‌الاضلاع بسیار ساده است:

S=b×h 

در این فرمول:

• S: مساحت متوازی‌الاضلاع
• b: قاعده
• h: ارتفاع

پس:

برای محاسبه مساحت متوازی‌الاضلاع، باید دو اندازه مهم را بشناسیم: قاعده و ارتفاع.

قاعده چیست؟

قاعده، ضلعی از متوازی‌الاضلاع است که ارتفاع بر آن عمود می‌شود. معمولاً یکی از ضلع‌های پایینی را به عنوان قاعده در نظر می‌گیرند، اما هر ضلع متوازی‌الاضلاع می‌تواند قاعده باشد.

ارتفاع چیست؟

ارتفاع، پاره‌خطی عمود است که فاصله بین دو ضلع موازی متوازی‌الاضلاع را نشان می‌دهد. ارتفاع باید بر قاعده عمود باشد.

نکته مهم این است که ارتفاع با ضلع کج متوازی‌الاضلاع یکی نیست. خیلی از دانش‌آموزان به‌اشتباه ضلع مایل را به جای ارتفاع در فرمول قرار می‌دهند؛ در حالی که ارتفاع باید بر قاعده زاویه 90 درجه بسازد.

چرا فرمول مساحت متوازی‌الاضلاع برابر قاعده ضربدر ارتفاع است؟

برای درک بهتر فرمول مساحت متوازی‌ الاضلاع، می‌توان آن را به مستطیل تبدیل کرد.

فرض کنید یک متوازی‌الاضلاع کاغذی داریم. اگر یک مثلث کوچک از یک سمت آن جدا کنیم و همان قسمت را به سمت دیگر منتقل کنیم، شکل جدیدی شبیه مستطیل به دست می‌آید.

در این حالت:

• طول مستطیل همان قاعده متوازی‌الاضلاع است.
• عرض مستطیل همان ارتفاع متوازی‌الاضلاع است.

از آن‌جایی که مساحت مستطیل برابر است با:

طول×عرض  

پس مساحت متوازی‌الاضلاع نیز برابر می‌شود با:

قاعده×ارتفاع

یعنی:

S=b×h

مثال ساده برای محاسبه مساحت متوازی‌الاضلاع

فرض کنید قاعده یک متوازی‌الاضلاع 8 سانتی‌متر و ارتفاع آن 5 سانتی‌متر باشد. مساحت آن چقدر است؟

فرمول:

S=b×h

 

جای‌گذاری عددها:

S=8×5

 

پس:

 S = 40 

بنابراین مساحت متوازی‌الاضلاع برابر است با:

40 cm2 

مثال دوم

قاعده یک متوازی‌الاضلاع 12 متر و ارتفاع آن 7 متر است. مساحت را حساب کنید.

S=12×7 

 S = 84 

پس مساحت برابر است با:

84 m2 

چند ارتفاع در متوازی‌الاضلاع وجود دارد؟

هر متوازی‌الاضلاع می‌تواند چند ارتفاع داشته باشد. چون هر ضلع آن می‌تواند به‌عنوان قاعده انتخاب شود، برای هر قاعده نیز می‌توان ارتفاع مربوط به همان قاعده را رسم کرد.

به طور کلی، در یک متوازی‌الاضلاع می‌توان ارتفاع‌ها را به دو شکل در نظر گرفت:

1. ارتفاع داخلی
2. ارتفاع خارجی

گاهی ارتفاع داخل شکل رسم می‌شود، اما در بعضی حالت‌ها لازم است ضلع متوازی‌الاضلاع را امتداد دهیم تا بتوانیم ارتفاع را بیرون شکل رسم کنیم.

نکته مهم این است که در هر دو حالت، ارتفاع باید بر قاعده یا امتداد قاعده عمود باشد.

اشتباه رایج در محاسبه مساحت متوازی‌الاضلاع

یکی از رایج‌ترین اشتباهات دانش‌آموزان این است که ضلع مایل متوازی‌الاضلاع را به جای ارتفاع در فرمول قرار می‌دهند.

اما باید توجه داشت:

مساحت=قاعده×ارتفاع

 

نه:

قاعده×ضلع مایل

 

مگر اینکه ضلع مایل واقعاً بر قاعده عمود باشد که معمولاً در متوازی‌الاضلاع معمولی چنین نیست.

محاسبه مساحت متوازی‌الاضلاع با مثلثات

در پایه‌های بالاتر، مخصوصاً دوره دبیرستان، ممکن است همیشه ارتفاع متوازی‌الاضلاع را نداشته باشیم. گاهی به جای ارتفاع، اندازه دو ضلع مجاور و زاویه بین آن‌ها داده می‌شود.

در این حالت می‌توان از فرمول مثلثاتی استفاده کرد:

 

در این فرمول:

• a: طول یک ضلع
• b: طول ضلع مجاور
• θ: زاویه بین دو ضلع
• S: مساحت متوازی‌الاضلاع

به‌عنوان مثال، اگر دو ضلع مجاور یک متوازی الاضلاع 3 و 6 سانتی‌متر و زاویه بین آن‌ها 30 درجه باشد، طبق فرمول بالا مساحت آن برابر است با:

محاسبه مساحت متوازی‌الاضلاع با قطرها

در بعضی مسائل، طول قطرهای متوازی‌الاضلاع و زاویه بین آن‌ها داده می‌شود. در این حالت می‌توان مساحت را با فرمول زیر به دست آورد:

• در این فرمول:

• d1​: قطر اول
• d2​: قطر دوم
• θ: زاویه بین دو قطر
• S: مساحت متوازی‌الاضلاع

مثال: طول قطرهای یک متوازی الاضلاع 5 و 8 سانتی‌متر است، اگر زاویه بین آن‌ها 45 درجه باشد، مساحت آن را به‌دست آورید.

با استفاده از فرمول مساحت متوازی الاضلاع برحسب قطرها داریم:

رابطه مساحت متوازی الاضلاع با مستطیل

اگر یک مثلث از کنار متوازی‌ الاضلاع ببرید و به طرف دیگر آن بچسبانید، شکل شما به یک مستطیل تبدیل می‌شود. به همین دلیل، فرمول مساحت هر دو بسیار شبیه است؛ در مستطیل می‌گوییم «طول × عرض» و در متوازی‌ الاضلاع می‌گوییم «قاعده × ارتفاع».

مساحت مثلث و متوازی الاضلاع

دانش‌آموزان کلاس پنجم و ششم باید بدانند که هر متوازی‌الاضلاع از دو مثلث کاملاً یکسان تشکیل شده است.

• نکته طلایی: مساحت مثلث همیشه نصف مساحت متوازی‌ الاضلاعی است که همان قاعده و ارتفاع را دارد.
• فرمول مساحت مثلث: (قاعده × ارتفاع) ÷ 2

نکات کلیدی برای امتحان ریاضی (پنجم و ششم)

در زمان حل تمرینات مساحت متوازی‌ الاضلاع کلاس پنجم به این 3 مورد دقت کنید:

1. ارتفاع باید بر قاعده عمود باشد: همیشه خطی را انتخاب کنید که زاویه 90 درجه (قائمه) ایجاد کرده است.
2. واحد مساحت: همیشه خروجی را با واحد مربع (سانتی‌متر مربع، متر مربع و…) بنویسید.
3. قاعده می‌تواند هر ضلعی باشد: متوازی‌الاضلاع دو جفت قاعده و دو جفت ارتفاع دارد. همیشه جفتی را بردارید که عدد هر دو را دارید.

تمرین برای دانش‌آموزان (خودآزمایی)

سعی کنید مساحت شکل‌های زیر را حساب کنید و در بخش نظرات پاسخ دهید:

1. قاعده 12 متر و ارتفاع 7 متر. مساحت؟
2. اگر مساحت یک متوازی‌ الاضلاع 48 باشد و قاعده آن 6، ارتفاع آن چقدر است؟ (راهنمایی: تقسیم کنید)

جدول مقایسه انواع متوازی‌الاضلاع

نوع شکل	ویژگی اصلی	آیا متوازی‌الاضلاع است؟
متوازی‌الاضلاع معمولی	دو جفت ضلع روبه‌رو موازی هستند	بله
لوزی	چهار ضلع برابر دارد	بله
مستطیل	چهار زاویه قائمه دارد	بله
مربع	چهار ضلع برابر و چهار زاویه قائمه دارد	بله

چند ارتفاع در متوازی‌الاضلاع وجود دارد؟

هر متوازی‌الاضلاع می‌تواند چند ارتفاع داشته باشد. چون هر ضلع آن می‌تواند به‌عنوان قاعده انتخاب شود، برای هر قاعده نیز می‌توان ارتفاع مربوط به همان قاعده را رسم کرد.

به طور کلی، در یک متوازی‌الاضلاع می‌توان ارتفاع‌ها را به دو شکل در نظر گرفت:

1. ارتفاع داخلی
2. ارتفاع خارجی

گاهی ارتفاع داخل شکل رسم می‌شود، اما در بعضی حالت‌ها لازم است ضلع متوازی‌الاضلاع را امتداد دهیم تا بتوانیم ارتفاع را بیرون شکل رسم کنیم.

نکته مهم این است که در هر دو حالت، ارتفاع باید بر قاعده یا امتداد قاعده عمود باشد.

اشتباه رایج در محاسبه مساحت متوازی‌الاضلاع

یکی از رایج‌ترین اشتباهات دانش‌آموزان این است که ضلع مایل متوازی‌الاضلاع را به جای ارتفاع در فرمول قرار می‌دهند.

اما باید توجه داشت:

مساحت=قاعده×ارتفاع

 

نه:

قاعده×ضلع مایل

 

مگر اینکه ضلع مایل واقعاً بر قاعده عمود باشد که معمولاً در متوازی‌الاضلاع معمولی چنین نیست.

نکات مهم برای حل تمرین‌های متوازی‌الاضلاع

برای حل بهتر تمرین‌های مربوط به متوازی‌الاضلاع، به نکات زیر توجه کنید:

1. همیشه ابتدا مشخص کنید قاعده کدام ضلع است.
2. ارتفاع باید بر قاعده عمود باشد.
3. ضلع مایل را با ارتفاع اشتباه نگیرید.
4. اگر زاویه‌ها داده شده‌اند، از مکمل بودن زاویه‌های مجاور استفاده کنید.
5. اگر قطرها داده شده‌اند، به زاویه بین قطرها توجه کنید.
6. اگر شکل لوزی، مستطیل یا مربع باشد، می‌توانید از ویژگی‌های خاص آن‌ها نیز کمک بگیرید.

جمع‌ بندی

متوازی‌الاضلاع یکی از چهارضلعی‌های مهم در هندسه است که در آن ضلع‌های روبه‌رو موازی و برابرند. زاویه‌های مقابل آن نیز برابر هستند و قطرهایش یکدیگر را نصف می‌کنند. لوزی، مستطیل و مربع همگی نوعی متوازی‌الاضلاع محسوب می‌شوند.

اگر دانش‌آموز در تشخیص قاعده، ارتفاع یا روش حل مسائل هندسه مشکل داشته باشد، تمرین مرحله‌به‌مرحله و آموزش مفهومی می‌تواند به درک بهتر او کمک کند. در کلاس‌های آموزشی و تقویتی سرای دانش، مفاهیم ریاضی با مثال‌های ساده، تمرین‌های هدفمند و روش‌های قابل فهم آموزش داده می‌شود تا دانش‌آموز بتواند با اعتمادبه‌نفس بیشتری مسائل هندسه را حل کند.

_________

 بخش سوالات متداول

1. تفاوت مساحت محیط و مساحت متوازی الاضلاع چیست؟

محیط یعنی دور تا دور شکل (مجموع 4 ضلع)، اما مساحت یعنی اندازه سطح داخل شکل (قاعده × ارتفاع).

2. آیا مساحت متوازی‌الاضلاع همان مساحت لوزی است؟

لوزی نوعی متوازی‌الاضلاع است، بنابراین با همین فرمول هم به دست می‌آید؛ اما لوزی فرمول اختصاصی (حاصل‌ضرب دو قطر تقسیم بر 2) هم دارد.

3. اگر فقط ضلع‌ها را داشته باشیم، می‌توان مساحت را حساب کرد؟

خیر؛ داشتن اندازه‌ی ضلع‌ها برای محیط کافی است، اما برای مساحت حتماً باید اندازه ارتفاع را داشته باشید یا از روابط مثلثاتی استفاده کنید.