قواعد بخش‌ پذیری اعداد 1 تا 20 | آموزش ساده با مثال و جدول کامل

 راهنمای جامع قواعد بخش‌ پذیری بر اعداد 1 تا 20

در ریاضیات یکی از مهارت‌های مهم برای انجام محاسبات سریع، شناخت قواعد بخش‌ پذیری است. این قواعد به ما کمک می‌کنند بدون انجام تقسیم‌های طولانی، تشخیص دهیم آیا یک عدد بر عدد دیگر کاملاً بخش‌ پذیر است یا خیر. یادگیری این قوانین باعث می‌شود حل بسیاری از مسائل ریاضی ساده‌تر و سریع‌تر انجام شود. به‌ویژه در مباحثی مانند ساده کردن کسرها، پیدا کردن مضرب‌ها، و حل مسائل عددی این مهارت بسیار کاربردی است.

در این مقاله سرای دانش، تمام قواعد بخش‌پذیری اعداد 1 تا 20 همراه با مثال و جدول خلاصه به زبان ساده توضیح داده شده است.

بخش‌ پذیری در ریاضی چیست؟

بخش‌ پذیری در ریاضیات به این معناست که یک عدد را بتوان بدون باقی‌مانده بر عدد دیگری تقسیم کرد. به بیان ساده، اگر حاصل تقسیم دو عدد یک عدد صحیح باشد و باقی‌مانده برابر صفر شود، می‌گوییم آن عدد بر عدد موردنظر بخش‌ پذیر است. برای مثال، عدد 12 بر 3 بخش‌ پذیر است؛ زیرا حاصل تقسیم 12 بر 3 برابر با 4 می‌شود و هیچ باقی‌مانده‌ای ندارد. اما عدد 12 بر 5 بخش‌ پذیر نیست، چون حاصل تقسیم آن 2٫4 است و تقسیم به‌صورت کامل انجام نمی‌شود.

بخش‌ پذیری یکی از مفاهیم مهم در ریاضیات است و در موضوعاتی مانند تشخیص اعداد اول و مرکب، ساده‌سازی کسرها و محاسبات سریع ذهنی کاربرد زیادی دارد. اعدادی که علاوه بر 1 و خودشان، بر اعداد دیگری نیز بخش‌پذیر باشند، «اعداد مرکب» نامیده می‌شوند؛ مانند عدد 12 که بر 2، 3، 4 و 6 نیز بخش‌ پذیر است.

مثال:

 4 = 5 ÷ 20

در این مثال باقی‌ مانده صفر است، بنابراین می‌گوییم عدد 20 بر 5 بخش‌ پذیر است.

اما:

6٫66 = 3 ÷ 20

چون باقی‌مانده دارد، پس 20 بر 3 بخش‌پذیر نیست.

قواعد بخش‌ پذیری اعداد 1 تا 10

اعداد بخش‌ پذیر بر 1

تمام اعداد بر 1 بخش‌ پذیر هستند و حاصل تقسیم هر عدد بر یک همان عدد خواهد بود. این ساده‌ترین قاعده ریاضی است.مثال:

26 = 1 ÷ 26

15 = 1 ÷ 15

اعداد بخش‌ پذیر بر 2

تمام اعداد زوج یعنی اعدادی که رقم یکان آن‌ها 0، 2، 4، 6 و 8 است، بر 2 بخش‌ پذیرند. مثال:

23 = 2 ÷ 46

اعداد بخش‌ پذیر بر 3

اگر مجموع رقم‌های یک عدد بر 3 بخش‌ پذیر باشد، خود آن عدد نیز بر 3 بخش‌ پذیر است.

به‌عنوان مثال، عدد 369 را در نظر بگیرید. برای اینکه مشخص کنیم این عدد بر 3 بخش‌ پذیر است یا نه، هر سه رقم آن را به‌صورت زیر با هم جمع می‌کنیم. 

 18 = 9 + 6 + 3

ازآنجا که مجموع رقم‌های 369 برابر با 18 و بر3 بخش‌پذیر است، می‌توان نتیجه گرفت که خود عدد 369 نیز بر 3 بخش‌ پذیر است.

  123 = 3 ÷ 369

نکته: اگر مجموع ارقام عدد موردنظر عددی بزرگ بود، می‌توانید همین مراحل را مجدد تکرار کنید، یعنی ارقامِ همان حاصل‌جمع را با هم جمع کنید تا بخش‌ پذیری آن بر 3 را بتوانید تشخیص دهید.

اعداد بخش‌ پذیر بر 4

عددی که دو رقم آخر آن از دو صفر (00) تشکیل شده باشد یا دو رقم آخر آن بر 4 بخش‌پذیر باشد، بر 4 بخش‌ پذیر خواهد بود. 

برای مثال، در عدد 8420 دو رقم آخر 20 است و چون عدد 20 بر 4 بخش‌ پذیر است، عدد چهاررقمی 8420 نیز بر 4 بخش‌ پذیر خواهد بود. همچنین، اعدادی مانند 500 و 17000 که دو رقم آخر آن‌ها برابر با صفر است نیز بر 4 بخش‌پذیر هستند.

 2330 = 4 ÷ 8420

125 = 4 ÷ 500

4250 = 4 ÷ 17000

مثال: 512 دو رقم آخر = 12

  3= 4 ÷ 12 

پس 512 بر 4 بخش‌ پذیر است.

اعداد بخش‌ پذیر بر 5

اگر رقم یکان عدد 0 یا 5 باشد، عدد بر 5 بخش‌ پذیر است. مثال:

15 = 5÷ 75

اعداد بخش‌ پذیر بر 6

یک عدد زمانی بر 6 بخش‌پذیر است که:

• بر 2 بخش‌پذیر باشد
• بر 3 بخش‌پذیر باشد

مثال: 30

زوج است → بر 2 بخش‌پذیر

3 = 0 + 3 → بر 3 بخش‌پذیر

پس:  5= 6 ÷ 30 

اعداد بخش‌ پذیر بر 7

برای درک بهتر قاعده بخش‌ پذیری بر 7، یک مثال را مرحله‌ به‌ مرحله بررسی می‌کنیم. فرض کنید می‌خواهیم ببینیم آیا عدد 905 بر 7 بخش‌ پذیر است یا خیر.

مرحله 1: رقم یکان را در 2 ضرب می‌کنیم. در این عدد، رقم یکان 5 است.

10 = 5 × 2

مرحله 2: حاصل به‌دست‌آمده را از بقیه عدد (عدد بدون رقم یکان) کم می‌کنیم. اگر رقم یکان 905 را حذف کنیم، عدد 90 باقی می‌ماند.

 90=  10− 80

مرحله 3: اگر عدد به‌ دست‌آمده صفر یا مضربی از 7 باشد، عدد اصلی نیز بر 7 بخش‌ پذیر است. اما چون 80 بر 7 بخش‌ پذیر نیست، بنابراین عدد 905 نیز بر 7 بخش‌ پذیر نخواهد بود.

اگر عدد موردنظر بزرگ باشد، می‌توان همین مراحل را چند بار تکرار کرد تا به عددی کوچک‌تر برسیم.

مثال: بررسی بخش‌پذیری عدد 37961 بر 7

ابتدا رقم یکان را در 2 ضرب می‌کنیم: 2 = 2 × 1

حاصل را از بقیه عدد کم می‌کنیم: 3794 = 2 − 3796

عدد هنوز بزرگ است، بنابراین مراحل را تکرار می‌کنیم.

8 = 2 × 4

371 = 8 − 379

باز هم مراحل را تکرار می‌کنیم:

2 = 2 × 1

35 = 2 − 37

چون 35 مضربی از 7 است (35 ÷ 7 = 5)، نتیجه می‌گیریم که عدد 37961 نیز بر 7 بخش‌ پذیر است.

اعداد بخش‌ پذیر بر 9

عددی بر 9 بخش‌ پذیر است که مجموع ارقام آن مضرب 9 یا به‌عبارتی، بر 9 بخش‌ پذیر باشد. عدد 819 را در نظر بگیرید. مجموع ارقام این عدد مساوی با 18 = 9 + 1+ 8 است. از آنجا که 18 بر 9 بخش‌پذیر است، 819 نیز بر 9 بخش‌پذیر خواهد بود. 

نکته: توجه داشته باشید که اگر مجموع ارقام عدد موردنظر عددی بزرگ باشد، می‌توانید همین فرایند را دوباره تکرار کنید یعنی ارقام همان حاصل‌جمع را با هم جمع بزنید تا بخش‌ پذیری آن بر 9 مشخص شود.

مثال: 819

18 = 9 + 1+ 8

2 = 9 ÷ 18

پس 819 بر 9 بخش‌پذیر است.

اعداد بخش‌ پذیر بر 10

اگر رقم یکان عدد 0 باشد، آن عدد بر 10 بخش‌پذیر است.

مثال:

45= 10 ÷ 450

قواعد بخش‌ پذیری اعداد 11 تا 20

اعداد بخش‌ پذیر بر 11

برای تشخیص بخش‌ پذیری یک عدد بر 11 رقم‌های آن عدد را یک‌درمیان جمع و کم می‌کنیم. اگر نتیجه صفر یا مضرب 11 باشد، عدد بر 11 بخش‌ پذیر است.

به‌عنوان مثال، برای تعیین بخش‌ پذیری اعداد 2846767 و 61809 بر 11 رقم‌های آن‌ها را به‌صورت زیر یک‌درمیان جمع و کم می‌کنیم:

0 = 20– 20= 7+6 –7 + 6– 4+ 8→28467672

22 = 1– 23= 9 + 0– 8+ 1→618096

اعداد بخش‌ پذیر بر 12

عدد باید همزمان بر: 3 و 4 بخش‌ پذیر باشد. فرض کنید می‌خواهیم ببینیم آیا 4880 بر 12 بخش‌ پذیر است یا نه. ابتدا بخش‌ پذیر بودن این عدد را بر 3 بررسی می‌کنیم. برای این کار کافی‌ست ارقام عدد را با هم جمع کنیم.

20 =0 + 8 + 8+ 4

عدد 20 بر 3 بخش‌ پذیر نیست. 

اکنون بخش‌ پذیری بر 4 را بررسی می‌کنیم. همان‌طور که قبلاً هم گفتیم، عددی که دو رقم آخر آن مضرب 4 باشد بر 4 بخش‌ پذیر است. در اینجا دو رقم آخر 80 و بر 4 بخش‌ پذیر است. بنابراین، نتیجه می‌گیریم که عدد 4880 نیز بر 4 بخش‌ پذیر است. با توجه به اینکه عدد موردنظر شرط بخش‌ پذیری بر 12 را برآورده نمی‌کند، می‌توان گفت 4880 بر 12 بخش‌ پذیر نیست.

اعداد بخش‌ پذیر بر 13

برای تشخیص:رقم یکان را در 4 ضرب کنید.
با بقیه عدد جمع کنید.
مثال:

 

4186

 24= 6×4

418 + 24= 442

442 ÷ 13=34

پس عدد بخش‌پذیر است.

اعداد بخش‌ پذیر بر 14

عددی بر 14 بخش‌ پذیر است که بر 2 و 7 بخش‌ پذیر باشد. برای مثال، عدد 1764 بر 14 بخش‌ پذیر است، زیرا

882 = 2÷1764

252= 7÷1764

 

 

اعداد بخش‌ پذیر بر 15

اگر عددی هم بر 3 و هم بر 5 بخش‌پذیر باشد بر 15 نیز بخش‌پذیر است. 

مثال: آیا عدد 84963325 بر 15 بخش‌پذیر است؟

رقم یکان عدد داده‌شده 5 است. بنابراین، این عدد بر 5 بخش‌پذیر خواهد بود. برای تعیین بخش‌پذیری بر 3 کافی‌ست رقم‌های عدد را با هم جمع کنیم. خواهیم داشت:

40 = 5 + 2 + 3 + 3 + 6 + 9 + 4 + 8 

عدد 40 بر 3 بخش‌پذیر نیست، پس عدد هشت‌رقمی بالا نیز بر 15 بخش‌پذیر نخواهد بود.

اعداد بخش‌ پذیر بر 16

برای بررسی بخش‌پذیری یک عدد بر 16 می‌توان از دو روش استفاده کرد:

روش اول: اگر رقم هزارگان عددی زوج و سه رقم آخر آن بر 16 بخش‌ پذیر باشد، آنگاه عدد موردنظر بر 16 بخش‌پذیر است، مانند عدد 126320 که رقم هزارگان آن زوج و سه رقم آخر آن برابر با 320 و بر 16 بخش‌پذیر است.
روش دوم: اگر رقم هزارگان عددی فرد باشد، سه رقم آخر را به‌ اضافه 8 می‌ کنیم. درصورتی که مقدار حاصل بر 16 بخش‌پذیر باشد، عدد اولیه هم بر 16 بخش‌پذیر است.
عدد 223497 را در نظر بگیرید. رقم هزارگان این عدد فرد است و حاصل‌جمع سه رقم آخر آن و 8 برابر با 505 = 8 + 497 است. عدد 505 بر 16 بخش‌پذیر نیست. درنتیجه عدد اصلی هم بر 16 بخش‌پذیر نخواهد بود.

اعداد بخش‌ پذیر بر 17

برای تشخیص بخش‌ پذیری یک عدد بر 17، رقم یکان را در 5 ضرب کرده و حاصل را از باقی‌مانده عدد کم می‌کنیم. اگر نتیجه نهایی بر 17 بخش‌ پذیر باشد، عدد اصلی نیز بر 17 بخش‌ پذیر است.

مثال: آیا عدد 442 بر 17 بخش‌ پذیر است؟

1. ابتدا رقم یکان را جدا کرده و در 5 ضرب می‌کنیم:

10 = 2 ×5

2. حاصل را از بقیه عدد (عدد بدون یکان) کم می‌کنیم:

  34=10− 44

3. اکنون بررسی می‌کنیم که آیا حاصل بر 17 بخش‌پذیر است یا خیر:

17= 34 ÷ 2 

چون حاصل یک عدد صحیح شد، متوجه می‌شویم که عدد 442 بر 17 بخش‌پذیر است.

اعداد بخش‌ پذیر بر 18

یک عدد زمانی بر 18 بخش‌پذیر است که هم بر 2 و هم بر 9 بخش‌پذیر باشد. به بیان ساده، اگر عدد مورد نظر زوج باشد (یعنی رقم یکان آن یکی از ارقام 0، 2، 4، 6 یا 8 باشد) و همچنین مجموع رقم‌هایش بر 9 بخش‌پذیر باشد، آنگاه آن عدد بر 18 نیز بخش‌پذیر است.

مثال:

عدد 7038 یک عدد زوج است (چون رقم یکان آن 8 است و بر 2 بخش‌پذیر است). مجموع رقم‌های آن برابر است با:

 18= 8 +3 +0 +7

از آن‌جا که 18 بر 9 بخش‌پذیر است، پس عدد 7038 هم بر 18 بخش‌پذیر خواهد بود.

اعداد بخش‌ پذیر بر 19

برای بررسی بخش‌ پذیری یک عدد بر 19 می‌توان از یک روش ساده استفاده کرد. در این روش، ابتدا رقم یکان عدد را در 2 ضرب می‌کنیم و سپس حاصل آن را با بقیه عدد جمع می‌کنیم. اگر عددی که به دست می‌آید بر 19 بخش‌پذیر باشد، عدد اولیه نیز بر 19 بخش‌پذیر خواهد بود.

به‌عنوان مثال، می‌خواهیم بررسی کنیم آیا عدد 266 بر 19 بخش‌پذیر است یا خیر:

12= 2 × 6

38= 12 + 26

حال عدد به‌دست‌آمده را بررسی می‌کنیم:

2= 19 ÷ 38

 

چون حاصل تقسیم یک عدد صحیح است و باقی‌مانده صفر می‌شود، عدد 266 بر 19 بخش‌پذیر است.

اعداد بخش‌ پذیر بر 20

عددی بر 20 بخش‌پذیر است که رقم یکان آن صفر و رقم دهگان آن زوج باشد. برای مثال، عدد 453760 بر 20 بخش‌پذیر است چون رقم یکان آن صفر و رقم دهگان آن یعنی 6 عددی زوج است.

 

جدول مرجع سریع

برای اینکه این قواعد همیشه در دسترس شما باشد، جدول زیر را به خاطر بسپارید:

عدد	قانون اصلی
1 تا 5	ساده (یکان یا مجموع ارقام)
6، 12، 14، 15، 18، 20	بررسی بخش‌پذیری بر عوامل اول آن عدد
7	(یکان × 2) - باقی اعداد
13	(یکان × 4) + باقی اعداد
17	(یکان × 5) - باقی اعداد
19	(یکان × 2) + باقی اعداد

 

سخن پایانی

قواعد بخش‌پذیری یکی از مهم‌ترین ابزارهای محاسبات سریع در ریاضی هستند. با کمک این قوانین می‌توان بدون انجام تقسیم‌های طولانی، تنها با بررسی رقم‌های یک عدد فهمید که آیا آن عدد بر عدد دیگری بخش‌پذیر است یا خیر. اگر این قواعد را تمرین کنید، به‌مرور زمان تشخیص بخش‌پذیری برای شما به کاری بسیار ساده و سریع تبدیل خواهد شد.